001 上一章注释[001] (第2/2页)

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    基准条件：h(x1，...xn，0)=f(x1，...，xn)

    递归条件:h(x1，...，xn，y 1)=g(x1，...，xn，y，h(x1，...，xn，y))

    回到我们的加法器add：

    add:N2→N

    add(x，y)=x y=ρ1(f，g)

    基准条件：add(x，0)=f(x)=proj11

    递归条件：add(x，y 1)=g(x，y，add(x，y))=succ(add(x，y))，g=succ·[proj33]

    add=ρ1(proj11，succ·[proj33]）

    完美无瑕。

    类似地，乘法器mult=ρ1(zero，add·[proj13，proj33])

    前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，succ三种原始函数和组合·，原始递归ρ这两种基本cao作。所有完全函数都可以据此构造。

    那么“偏函数”呢？

    构造偏函数还需要额外的一个cao作：最小化。

    如果我们有一个函数f:N^n 1—N(这里^代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了)，具体的f(a1，...an，x)，其中a1，...an是固定参数，x是可变参数。

    那么最小化cao作为：μ^nf:N^n—N它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出

    比如f(5，4，3，2，1，0)=0

    如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。

    比如f(5，4，3，2，1，1)=1

    假设我们有一个投影函数长这样：

    proj21:N2—N(proj21中的2是上标，1是下标，下同，写不动摆烂了)

    那么μ^1proj21:N—N

    举个栗子：

    假如我们给proj21弄一个最小化cao作：μ^1proj21(1)，其中1是固定参数。

    如果我们穷举一下可变参数，就会发现：

    proj21(1，0)=1

    proj21(1，1)=1

    我们永远也拿不到0，也就不存在最小化。也就是说，对于μ^1proj21而言，并不是每一个输入都对应一个输出，所以应用最小化cao作，我们成功地构建了一个偏函数。

    加减乘三种cao作都在上文构建过了，现在就只剩下一个除了。除法div需要用最小化cao作来构建。

    假设，我们收到两参数a和b，想求a/b，那么其中存在如下关系：

    a=q×b r，其中0≤r＜b

    我们想要的就是满足式子q×b≤a的最大的q，这等同于满足(q 1)×b＞a，于是带余除法被转化为了一个最小化问题：

    找到最小的q使其满足(q 1)×b＞a

    也就是构造一个函数f:N^3—N

    f(a，b，q)=1如果(q 1)b≤a，=0如果(q 1)b＞a

    f(a，b，q)=lessthanequal(mult(succ(q)，b)，a)

    f=lessthaneual·[mult·[succ·[proj33]，proj32]，proj31]

    其中lessthanequal=iszero·sub

    iszero=sub·[succ·zero，proj11]

    sub是减法器

    对f进行最小化cao作即可得到我们想要的结果。

    验证一下：

    f(8，5，0)=lessthanequal(mult(1，5)，8)=1不等于0，所以0不是输出。

    f(8，5，1)=lessthanequal(mult(1，5)，8)=0，最小，所以1是输出。

    div(8，5)=8//5=1没错，十分完美。

    如果我们想计算一下8//0:

    f(8，0，0)=lessthanequal(mult(1，0)，8)=1不等于0，所以0不是输出。

    f(8，0，1)=lessthanequal(mult(2，0)，8)=1不等于0，所以0不是输出。

    无论我们给f(8，0，x)传入什么x，都找不到最小的x，所以div(8，0)=8//0无解，符合现实。

    如果把最小化cao作运用在原始递归函数上，得到的新函数就叫做偏递归函数。

    好了，现在加减乘除我们都有了，只要是可计算的算法，我们都能执行。

    至于无限循环怎么制造出来，从μ^1proj21(1)和div的栗子都可以看出来，如果最小化cao作找不到最小值，就永远不会给出输出，这相当于while语句的功能。

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    下一章是正常内容